A Kohn-Vogelius Formulation to Detect an Obstacke Immersed in a Fluid

Abstract

Ces travaux portent sur l’étude d’un problème inverse de détection en utilisant en particulier l’optimisation de formes. Dans un premier temps, nous cherchons à localiser un objet immergé dans un fluide visqueux, incompressible et stationnaire. Nous nous intéressons à la question de l’identifiabilité de l’objet puis nous analysons ce problème inverse comme un problème d’optimisation de forme en minimisant une fonctionnelle coût. L’approche géométrique utilisant les dérivées de forme est présentée ici. Nous démontrons théoriquement l’instabilité de ce problème et motivons ainsi nos simulations numériques utilisant une méthode de régularisation. Les expériences numériques effectuées permettent de valider et compléter ces résultats théoriques. Enfin, nous nous intéressons à des conditions aux bords non standard, à savoir des conditions de type Ventcel. Ces conditions permettent par exemple d’étudier des domaines à couche mince en remplaçant ces derniers par des domaines sans couche mince munis de nouvelles conditions aux bords appelées conditions d’impédance généralisées. Nous adaptons alors les techniques précédentes à ce cas en soulignant les difficultés et les problèmes encore ouverts pour ce type de conditions.